Fungsi, dalam istilah matematika adalah pemetaan setiap anggota sebuah himpunan (dinamakan sebagai domain) kepada anggota himpunan yang lain (dinamakan sebagai kodomain). Istilah ini berbeda pengertiannya
dengan kata yang sama yang dipakai sehari-hari, seperti “alatnya berfungsi
dengan baik.” Konsep fungsi adalah salah satu konsep dasar dari matematika dan setiap ilmu
kuantitatif. Istilah "fungsi", "pemetaan",
"peta", "transformasi", dan "operator" biasanya
dipakai secara sinonim.
Anggota himpunan yang
dipetakan dapat berupa apa saja (kata, orang, atau objek lain), namun biasanya
yang dibahas adalah besaran matematika seperti bilangan riil. Contoh sebuah fungsi dengan domain
dan kodomain himpunan bilangan riil adalah y=f(2x), yang menghubungkan suatu
bilangan riil dengan bilangan riil lain yang dua kali lebih besar. Dalam hal
ini kita dapat menulis f(5)=10
B. JENIS-JENIS FUNGSI
1) Fungsi konstan (fungsi tetap)
Fungsi konstan adalah fungsi yang dinyatakan dalam rumus f(x) = c, dengan c suatu konstanta. Grafiknya jika dilukis dalam suatu sumbu koordinat dimana domainnya sumbu x merupakan garis yang sejajar dengan sumbu x.
Fungsi konstan ditulis sebagai:
f
: x → f(x) = k, dengan x € R dan k adalah
sebuah konstanta (nilai tetap).
Ditulis dengan : f : x à k, k : konstanta
Disajikan dalam :
a.
Diagram panah b.
Grafik pada bidang kartesius
-1—
— 5
y
|
-1—
0 —
1 —
2 —
3 —
|
|
— 5
|
y
= f (x) = k
(0,k)
x
2)Fungsi linear
Suatu fungsi f(x) disebut fungsi linear apabila fungsi itu ditentukan oleh
f(x) = ax + b, di mana a ≠ 0, a dan b bilangan konstan dan grafiknya berupa
garis lurus.
Contoh: Diketahui suatu fungsi dinyatakan dalam persamaan fungsi f : x → f(x) = x + 3 dengan daerah asal Df = {x | 0 ≤ x ≤ 2, x € R}, maka untuk menggambarkan grafiknya dapat dilakukan dengan langkah:
Suatu fungsi f(x) disebut fungsi linear apabila fungsi itu ditentukan oleh
f(x) = ax + b, di mana a ≠ 0, a dan b bilangan konstan dan grafiknya berupa
garis lurus.
Contoh: Diketahui suatu fungsi dinyatakan dalam persamaan fungsi f : x → f(x) = x + 3 dengan daerah asal Df = {x | 0 ≤ x ≤ 2, x € R}, maka untuk menggambarkan grafiknya dapat dilakukan dengan langkah:
Misal x =
0, maka f(0) = 0 + 3 = 3
Misal x =
1, maka f(1) = 1 + 3 = 4
Misal x
= 2, maka f(2) = 2 + 3 = 5
Dengan demikian diperoleh pasangan berurutan dari pemetaannya yaitu : (0, 3), (1, 4), dan (2, 5). Selanjutnya gambarkan garis yang menghubungkan titik-titik tersebut dalam koordinat cartesius.
3) Fungsi kuadrat
Suatu fungsi f(x) disebut fungsi kuadrat apabila fungsi itu ditentukan oleh
f(x) = ax2 + bx + c, di mana a ≠ 0 dan a, b, dan c bilangan konstan dan
grafiknya berupa parabola.
Fungsi
kuadrat adalah fungsi y = f (x) = ax2 + bx
+ c (a, b dan c € R, a ≠ 0) untuk semua nilai x
dalam daerah asalnya (Domain). Fungsi kuadrat dikenal juga dengan istilah
fungsi polinom atau fungsi suku banyak berderajat dua dala variabel x.
Berikut ini adalah beberapa contoh gambar grafik fungsi kuadrat:
Gambarlah
graik fungsi kuadrat y = x2 - 4x - 5
Jawaban :
a. Titik potong sumbu x, y = 0.
y = x2 - 4x -
5 =>
0 = (x - 5) (x + 1) , x = -1 , 5
0 = x2 - 4x -
5
Titik potong sumbu x (-1,0) dan (5,0)
b. Titik potong sumbu y, x = 0.
y = x2 - 4x -
5
y = (0)2 - 4(0) – 5
y = -5
maka titk potong sumbu y adalah (0,-5)
c. Persamaan sumbu simetri -b/2a
= -(-4)/2.1
= 2
d. Nilai maks/min b2- 4ac /-4a
= {(-4)2 - 4.1.(-5)} / -4(1)
= 36/-4
= -9
e. Titik puncak {(-b/2a),(b2- 4ac/-4a)}
= (2,-9)
4) Fungsi identitas
Suatu fungsi f(x) disebut fungsi identitas apabila setiap anggota domain fungsi
berlaku f(x) = x atau setiap anggota domain fungsi dipetakan pada dirinya sendiri. Grafik fungsi identitas berupa garis lurus yang melalui titik asal dan semua titik absis maupun ordinatnya sama. Fungsi identitas ditentukan oleh f(x) = x.
Ditulis dengan : f : x à I (x) = x
Disajikan dalam :
-2—
-2—
a. Diagram panah b.
Grafik pada bidang kartesius
|
-2—
-1—
0 —
1 —
2 —
|
|
-2—
-1—
0 —
1 —
2 —
|
y I (x) = x
5) Fungsi tangga
(bertingkat)
Suatu fungsi f(x) disebut fungsi tangga apabila grafik fungsi f(x) berbentuk
interval-interval yang sejajar.
Suatu fungsi f(x) disebut fungsi tangga apabila grafik fungsi f(x) berbentuk
interval-interval yang sejajar.
yaitu suatu nilai bulat
terbesar yang kurang dari atau sama dengan x.
Grafik fungsi y : f (x) =
[[x]], x Î R
diperlihatkan dalam gambar sebagai berikut :
Contoh :
-2 £ x < -1 à [[x]] = -2
-1 £ x < 0 à [[x]] = -1
0 £ x < 1 à [[x]] = 0
1 £ x < 2 à [[x]] = 1
2 £ x < 3 à [[x]] = 2
Karena grafiknya
menyerupai tangga, maka f (x) = [[x]] sering disebut fungsi tangga.
6) Fungsi modulus
Suatu fungsi f(x) disebut fungsi modulus (mutlak) apabila fungsi ini memetakan
setiap bilangan real pada domain fungsi ke unsur harga mutlaknya.
Fungsi
modulus atau disebut juga fungsi mutlak adalah fungsi y = f(x)
dengan f(x) = |x| untuk semua nilai x dalam daerah
asalnya (domain). Bentuk |x| dibaca sebagai “nilai mutlak x” dan
didefinisikan sebagai: Untuk setiap bilangan real x, maka nilai mutlak x
ditentukan oleh aturan: |x| = x
(jika x ≥ 0 ) dan |x| = -x (jika x < 0).
Karena nilai mutlak suatu bilangan
real x tidak pernah negatif, maka grafik fungsi f(x) = |x|
tidak pernah terletak di bawah sumbu y.
Fungsi
modulus disajikan dalam f : x à |x| didefinisikan sebagai :
+ x, jika x > 0
|x|
= 0, jika x = 0
- x, jika x < 0
Grafik fungsi f
(x) = |x| ditunjukkan dalam gambar :
y y
= |x|
3
2
1
-3 -2 -1 1 2 3 x
Contoh :
Diketahui fungsi f : x à |x-1| dengan x Î R
a.
Ditentukan f (-3), f (-2), f (-1), f (0), f (1), f
(2), f (3)
b.
Tentukan p, jika f (p) = 10
c.
Tentukan q, jika f (q) = 4
d.
Gambarkan grafik fungsi f dalam bidang kartesius
Jawab :
a.
f (x) = |x-1|
f (-3) = |-3-1|
= |-4| = 4 f (0) = |0-1| = |-1|
= 1
f (-2) = |-2-1|
= |-3| = 3 f (1) = |1-1| = |0| =
0
f (-1) = |-1-1|
= |-2| = 2 f (2) = |2-1| = |1| =
1
f
(3) = |3-1| = |2| = 2
b.
f (p) = |p-1| = 10
p –1 = 10 atau
p – 1 = -10
p = 11 atau p = -9
c.
f (q) = |q-1| = 4
q –1 = 4 atau
p – 1 = -4
p = 5 atau p = -3
d.
Gambar grafik
y
-3 -2 -1 1 2 3 x
7) Fungsi ganjil dan
fungsi genap
Suatu fungsi f(x) disebut fungsi ganjil apabila berlaku f(–x) = –f(x) dan disebut
fungsi genap apabila berlaku f(–x) = f(x). Jika f(–x) ≠ –f(x) maka fungsi ini
tidak genap dan tidak ganjil.
Suatu fungsi f(x) disebut fungsi ganjil apabila berlaku f(–x) = –f(x) dan disebut
fungsi genap apabila berlaku f(–x) = f(x). Jika f(–x) ≠ –f(x) maka fungsi ini
tidak genap dan tidak ganjil.
Fungsi
f : x à f (x) disebut fungsi genap jika f
(-x) = + f (x)
Fungsi
f : x à f (x) disebut fungsi ganjil jika f
(-x) = - f (x)
Jika
ada fungsi yang tidak memenuhi kedua pernyataan di atas disebut fungsi tidak
genap dan tidak ganjil.
Contoh
:
Tentukan
fungsi genap atau fungsi ganjil di antara fungsi berikut :
a. f (x) = x2 + 1
b.
f
(x) = x3
c. f (x) = x3 – 1
Jawab
:
a.
f (x) = x2 + 1
f (-x) = (-x)2
+ 1 = x2 + 1 = + f (x)
Jadi f (x) = x2
+ 1 adalah fungsi genap
b.
f (x) = x3
f (-x) = (-x)3
= -x3 = - f (x)
Jadi f (x) = x3
adalah fungsi ganjil
c.
f (x) = x3 – 1
f (-x) = (-x)3
– 1 = -x3 – 1
f (-x) ¹ + f (x) dan f (-x) ¹ -f (x)
Jadi f (x) = x3
– 1 bukan fungsi genap dan bukan fungsi ganjil.
Contoh penyajian dalam
grafik bidang kartesius
Fungsi genap Fungsi
ganjil
y y = f(x) = x2+1 y y = f(x) = x3
(0,1) 0
x -1 1 x
Grafik fungsi
genap selalu simetri Grafik fungsi
ganjil selalu simetri
Atau setangkup
terhadap sumbu y atau setangkup
terhadap titik asal 0
8) Fungsi Polinomial
Fungsi Polinomial adalah fungsi f yang dinyatakan dalam bentuk :
f(x) = an x n + an-1 x n-1 + ……. A2 x 2 + a1 x a0
Jika n = 1 maka terbentuk fungsi linier (grafiknya berbentuk garis lurus).
Jika n = 2 maka terbentuk fungsi kuadrat( grafiknya berbentuk parabola).
9) Fungsi invers
adalah kebalikan dari
fungsi untuk membentuk kebalikan dari fungsi sebenarnya. Apa gunanya fungsi
ini? Fungsi ini utk mencari cari identitas fungsi sedemikian sehingga fungsi
sebenarnya jika dikalikan dengan fungsi invers menghasilkan 1. Jika dalam
bentuk vektor adalah vektor identik.
10) Fungsi logaritma
Fungsi ini berperan
pada persoalan-2 statistik dan probabilitas. Dan lebih banyak kepada
persoalan-2 diskrit. Contoh: bagaimana mengatur agar antrian pembelian bensin
sedemikian sehingga pada saat-2 tertentu pegawai pelayanan diperbanyak. Misal
pada pembayaran rekening listrik, para konsumen lebih banyak membayar pada
akhir tagihan daripada awal-awal penagihan. Sangat bijak manajer mengatur agar
pada hari-2 terakhir pegawainya hrus membantuk bagian kasir untuk melayani
konsumen.
Contoh
: Diketahui f(x) = 4log (x2 - 8x
+ 16). Tentukan titik potong kurva fungsi f dengan :
a. Sumbu X
b. sumbu Y
Penyelesaian:
a.
Titik potong dengan sumbu X. Syaratnya f(x) = 0. Oleh
karena itu,
f(x) =
4log (x2 – 8x + 16)
Jadi, titik potongnya dengan sumbu X
adalah (5, 0) dan (3, 0).
b.
Titik potong dengan sumbu Y syaratnya, x = 0. Oleh karena
itu,
f(x) = 4log (x2
– 8x + 16)
= 4log
(02 – 8(0) + 16)
= 4log
16
= 4log
42
= 2
Jadi, titik potongnya dengan sumbu Y adalah (0,
2).
11) Fungsi injektif
Fungsi f: A → B disebut
fungsi satu-satu atau fungsi injektif jika dan hanya jika untuk sebarang a1 dan
a2 <!--[if !vml]-->
<!--[endif]-->dengan
a1 tidak sama dengan a2 berlaku f(a1) tidak sama dengan f(a2). Dengan kata lain,
bila a1 = a2 maka f(a1) sama dengan f(a2).
12) Fungsi surjektif
Fungsi f: A → B disebut
fungsi kepada atau fungsi surjektif jika dan hanya jika untuk sebarang b dalam
kodomain B terdapat paling tidak satu a dalam domain A sehingga berlaku f(a) =
b. Dengan kata lain, suatu kodomain fungsi surjektif sama dengan kisarannya
(range).
13) Fungsi bijektif
Fungsi f: A → B disebut
disebut fungsi bijektif jika dan hanya jika untuk sebarang b dalam kodomain B
terdapat tepat satu a dalam domain A sehingga f(a) = b, dan tidak ada anggota A
yang tidak terpetakan dalam B. Dengan kata lain, fungsi bijektif adalah
sekaligus injektif dan surjektif
